Удивительная сумма сумм

Один из самых юных читателей журнала "Наука и жизнь", ученик третьего класса Саша Ниходовский обнаружил интересную закономерность, связанную с суммами цифр многозначных чисел. Она в чем-то схожа с арифметическими аттракторами - понятием, введенным Р. Бахтизиным и К. Штуктуровым из Уфы (см. "Наука и жизнь" № 9, 2000 г., № 3, 2004 г.). Закономерность эта не только интересна сама по себе, но и может иметь практическое применение.
Однажды во втором классе на уроке математики нам продиктовали ряд цифр: 1, 2, 3, 4 - и предложили дома составить из них все возможные суммы. У меня получились такие примеры:
1+234=235, 4+123=127, 214+3=217, 14+23=37,
2+134=136, 432+1=433, 21+34=55, 321+4=325 и т.д.
От нечего делать я придумал игру: начал искать суммы цифр всех полученных ответов. Во всех случаях результат был один и тот же - число 10. Например, 2+3+5=10, и 2+1+7=10, и 4+3+3=10 и т.д. Дальше мне пришло в голову найти сумму исходных цифр (продиктованных учителем): 1+2+3+4=10.
Я заинтересовался этой закономерностью и стал ее проверять на больших числах.
Например, число 548 769. Сумма его цифр 5+4+8+7+6+9=39. Сложил 3+9=12 и 1+2=3, а затем опять начал составлять все возможные суммы и находил суммы цифр, составляющих найденные ответы:
54+87+69=210, сумма цифр ответа 2+1=3;
967+845=1812, сумма цифр ответа
1+8+1+2=12, а 1+2=3;
769+485=1254, сумма цифр ответа
1+2+5+4=12, а 1+2=3.
Продолжая составлять все возможные суммы из цифр, составляющих число 548 769, убедился, что окончательная сумма цифр всех полученных ответов всегда равнялась 3.
Я увлекся замеченной мною закономерностью и стал проверять ее на разных числах. Результат был тот же: для всех возможных сумм цифр, составляющих число 52 863 749, сумма цифр ответа всегда была 8, а для сумм цифр, составляющих число 269 751, - равнялась 3.
Пораженный открытой закономерностью, пробовал включать в ряды цифр нули и повторяющиеся цифры. Вот, например, число 10 972.
Сумма его цифр:
1+0+9+7+2=19, 1+9=10, 1+0=1.
Некоторые из возможных сумм, составленных из цифр этого числа, и суммы цифр ответов:
109+72=181, 1+8+1=10, 1+0=1;
19+270=289, 2+8+9=19, 1+9=10, 1+0=1;
297+10=307, 3+0+7=10, 1+0=1.
Опять повторилась та же закономерность.
Я проверял свое открытие на десятках номеров трамвайных билетов, номерах телефонов из справочника и т.д.
Например, телефон лицея 95-4-65.
9+5+4+6+5=29, 2+9=11, 1+1=2.
Составляю произвольно любые четыре суммы из первоначального набора:
564+59=623, сумма цифр ответа 6+2+3=11,
1+1=2;
956+54=1010, сумма цифр ответа 1+0+1+0=2;
495+65=560, сумма цифр ответа 5+6+0=11,
1+1=2;
55+694=749, сумма цифр ответа 7+4+9=20,
2+0=2.
Видно, что и в этом случае закономерность остается в силе.
Арифметическая игра с числами и цифрами, составляющими их запись, не только очень увлекательна. Я смог показать, что эта игра имеет практическое значение. Учитель легко сможет проверить любые примеры на сложение, а каждый покупатель - быстро узнает, не обсчитали ли его. Для этого следует на ценниках штучного товара рядом с его ценой указывать сумму цифр его цены. Например, мы купили:
шоколад - цена 15 руб., сумма цифр цены
1+5=6;
10 яиц - 29 руб., сумма цифр цены 2+9=11,
1+1=2;
рулет - 18 руб., сумма цифр цены 1+8=9;
хлеб - 12 руб., сумма цифр цены 1+2=3;
молоко - 17 руб., сумма цифр цены 1+7=8;
Еще в очереди я сосчитал:
6+2+9+3+8=28, 2+8=10, 1+0=1.
Всего мне сказали уплатить 93 руб.
А сумма цифр цены моей покупки 9+3=12,
1+2=3.
3 не равно 1, значит, продавец ошибся.
Всего за покупку мне нужно было уплатить
91 рубль (9+1=10, 1+0=1).
Зная о найденной закономерности, можно легко и просто проверить, верна ли названная кассиром сумма.