Задача о совершенстве

Имя задачи: Задача о совершенстве

Предмет: математика

Класс: 6

Тема: Делители и кратные. Простые и составные числа.

Профиль: общеобразовательный

Уровень: общий

Текст задачи. В “Маленьком принце”, замечательной сказке французского писателя А. де Сент-Экзюпери, Лис спрашивает Маленького принца:

– А на той планете есть охотник?

– Нет.

– Как интересно! А куры есть?

– Нет.

– Нет в мире совершенства! – вздыхает Лис.

Можно поспорить с Лисом. Но пифагорейцы, жившие 2500 лет тому назад, тоже считали совершенство редким явлением и обозначали его совершенным числом. Примерами совершенных чисел являются 6 и 28. Сколько таких чисел в миллионе и с чем эти числа были связаны у древних народов?

а) Выделите ключевые слова для информационного поиска.

б) Найдите и соберите необходимую информацию.

в) Обсудите и проанализируйте собранную информацию.

г) Сделайте выводы.

д) Сравните свои выводы с предложенным образцом.

Возможные информационные источники.

Книги:

1. Малаховский В.С. Введение в математику. Учеб. Издание. – Калининград: Янтар. сказ, 1998.
2. Детская энциклопедия, том 2, Мир небесных тел. Числа и фигуры. – М.: Педагогика, 1972.
3. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1996.
4. Математика. Школьная энциклопедия / Гл. ред. С.М. Никольский. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1996.

Интернет-ресурсы:

http://www.wikipedia.org/wiki

http://www.paskal.sources/ru

http://www.revolution/allbest/ru

http://www.bse/sci-lib/com/article103772.html

http://www.comcon/by/ru/ARTICAL

Культурный образец

Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1996.

Математика. Школьная энциклопедия / Гл. ред. С.М. Никольский. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1996.

 Пифагору (ок. 570 – ок. 500 г.г. до н.э., рисунок «Пифагор») приписывается высказывание: “Всё есть число”. К числам он хотел свести весь мир и математику, в частности. Пифагорейцы, жившие две с половиной тысячи лет тому назад, считали совершенство редким явлением и обозначали его числами, удовлетворяющими довольно жёсткому условию.

Число называлось совершенным, если оно равнялось сумме всех своих собственных делителей, т.е. делителей, отличных от самого числа.

Совершенные числа весьма почитались в древнем мире. Например, египетская мера длины “локоть” содержала 28 “пальцев”; самым почётным местом на пирах у римлян было шестое; во многих обществах число членов равнялось 28. Даже сейчас, следуя древней традиции, некоторые академии по уставу состоят из 28 действительных членов.

Пифагорейцы нашли правило, облегчающее поиск совершенных чисел. У Евклида в “Началах” оно формулируется так: “Если от единицы откладывать сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их совокупность, сложенная не сделается первым числом и вся совокупность, умноженная на последнее число, произведёт что-то, то возникающее число будет совершенным”. Иначе говоря,

(1 + 2 + 22 +...+ 2к-1)·2к-1 =(2к - 1)·2к-1

является совершенным числом, если число 2к – 1 простое. Простые числа вида М_к= 2к – 1 стали называться простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М. Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. В настоящее время числа вида 2к – 1 проверены на простоту для всех к до 50000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна.

Примерами совершенных чисел являются

6=1+2+3;

28=1+2+4+7+14.

Первые три совершенных числа нашёл сам Пифагор; это числа 6; 28 и 496, а последующие уже нашли по формуле. Проверим числа 496 и 8128:

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248;

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.

Позже в 17-18 веках многие математики искали совершенные числа. Они использовали критерий совершенства, который как гипотезу выдвинул французский философ и математик Рене Декарт, а доказал Леонард Эйлер.

 Леонард Эйлер (рисунок «Эйлер») – автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. В 1726 г. он был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731-1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Именно он заметил:” Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности...” Эйлер показал, что простыми числами Мерсенна исчерпываются все чётные совершенные числа.

Совершеные числа укладываются в следующую схему. Сложим все правильные делители некоторого числа, получим второе; найдём сумму всех его правильных делителей, получим третье число; найдём далее сумму всех правильных делителей третьего числа и т.д. Может оказаться, что на некотором шаге получится исходное число, т.е. цепочка замкнётся.

Простыми являются числа Мерсенна М₂=3, М₃=7, М₅=31, М₇=127, М₁₃=8181, М₁₇=131071. Им соответствует совершенные числа 6; 28; 496; 8128; 33550336; 8589869056. Из приведённого примера видно, что до миллиона только 4 совершенных числа.