Решаем биквадратные уравнения - 25 Января 2018

Главная » 2018 » Январь » 25 » Решаем биквадратные уравнения

13:37

Решаем биквадратные уравнения

ГИА - 9 класс. Решаем биквадратные уравнения.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $a{x^4} + b{x^2} + c = 0,$ где a, b и c — числа, причём a≠0.

Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t.

Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

$1)4{x^4} - 5{x^2} + 1 = 0$

Пусть ${x^2} = t,t \ge 0,$

тогда

$4{t^2} - 5t + 1 = 0$

Получили квадратное уравнение. Дискриминант

$D = {b^2} - 4ac$

$D = {( - 5)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9$

${t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{5 \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 4}} = \frac{{5 \pm 3}}{8}$

${t_1} = \frac{{5 + 3}}{8} = 1;{t_2} = \frac{{5 - 3}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня удовлетворяют условию t≥0.

Возвращаемся к исходной переменной:

${x^2} = 1;{x^2} = \frac{1}{4}$

${x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = \frac{1}{2};{x_4} = - \frac{1}{2}.$

Ответ: $\pm 1; \pm \frac{1}{2}.$

$2){x^4} - 2{x^2} - 8 = 0$

Замена

${x^2} = t,t \ge 0,$

${t^2} - 2t - 8 = 0$

Так как b= -2 — чётное число, дискриминант можно найти по формуле дискриминанта, делённого на 4:

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 2}}{2})^2} - 1 \cdot ( - 8) = 9$

${t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 2}}{2} \pm \sqrt 9 }}{1} = 1 \pm 3$

${t_1} = 4;{t_2} = - 2$

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. От корня t=4 возвращаемся к исходной переменной

${x^2} = 4$

$x = \pm 2$

Ответ: ±2.

Просмотров: 406 | Добавил: Ирина_Сошина | Рейтинг: 0.0/0